2023학년도 수능 15번

$a_{7}=40$이고 $40$은 $3$의 배수가 아니므로, $a_{6}$을 기준으로 세 경우로 나눕니다.

(ⅰ) $a_{6}$이 $3$의 배수인 경우

$a_{7}=\dfrac{a_{6}}{3}=40$이므로 $a_{6}=120$이에요.

$40$은 $3$의 배수가 아니므로 $a_{8}=a_{6}+a_{7}=160$이고, $160$도 $3$의 배수가 아니므로

$$a_{9}=a_{7}+a_{8}=200$$

(ⅱ) $a_{6}=3k-2$ ($k$는 자연수)인 경우

$a_{7}=a_{5}+a_{6}$이므로

$$a_{5}=40-(3k-2)=42-3k=3(14-k)$$

$a_{5}$가 자연수이므로 $k<14$이고, $a_{5}$는 $3$의 배수이므로 $a_{6}=\dfrac{a_{5}}{3}$이에요.

$$3k-2=14-k \quad\Rightarrow\quad k=4,\quad a_{6}=10$$ $$a_{8}=a_{6}+a_{7}=50,\qquad a_{9}=a_{7}+a_{8}=90$$

(ⅲ) $a_{6}=3k-1$ ($k$는 자연수)인 경우

$a_{7}=a_{5}+a_{6}$이므로 $a_{5}=41-3k$이고, $a_{5}>0$에서 $k<\dfrac{41}{3}$ …… ㉠

$a_{5}$는 $3$의 배수가 아니므로 $a_{6}=a_{4}+a_{5}$에서

$$a_{4}=a_{6}-a_{5}=6k-42=3(2k-14)$$

$a_{4}$가 자연수이므로 $k>7$ …… ㉡

㉠, ㉡에서 $7<k<\dfrac{41}{3}$이고, $a_{4}$는 $3$의 배수이므로 $a_{5}=\dfrac{a_{4}}{3}$이에요.

$$41-3k=2k-14 \quad\Rightarrow\quad k=11,\quad a_{6}=32$$

$72$는 $3$의 배수이므로

$$a_{8}=a_{6}+a_{7}=72,\qquad a_{9}=\dfrac{a_{8}}{3}=24$$

합계

$a_{9}$의 값은 $200$, $90$, $24$뿐이므로 $M=200$, $m=24$이고,

$$M+m=224$$

따라서 정답은 ⑤예요.