2023학년도 6월 모평 15번

$a_1=0$이므로

$$a_2=a_1+\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{k+1}>0$$ $$a_3=a_2-\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k}<0$$ $$a_4=a_3+\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{2}{k+1}-\dfrac{1}{k}=\dfrac{k-1}{k(k+1)}$$

**$k=1$**이면 $a_4=0$이에요. 이 수열에서는 $n=3m-2$($m$은 자연수)일 때 $a_n=0$이므로 $a_{22}=0$이에요. 조건 만족

**$k>1$**이면 $a_4>0$이므로

$$a_5=a_4-\dfrac{1}{k}=\dfrac{2}{k+1}-\dfrac{2}{k}$$ $$a_6=a_5+\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{3}{k+1}-\dfrac{2}{k}=\dfrac{k-2}{k(k+1)}$$

**$k=2$**이면 $a_6=0$이에요. 이때 $n=5m-4$($m$은 자연수)일 때 $a_n=0$이므로 $a_{22}\neq 0$이에요. 조건 불만족

**$k>2$**이면 $a_6>0$이므로 같은 방법으로

$$a_7=\dfrac{3}{k+1}-\dfrac{3}{k},\quad a_8=\dfrac{4}{k+1}-\dfrac{3}{k}=\dfrac{k-3}{k(k+1)}$$

**$k=3$**이면 $a_8=0$이고 $a_{22}=0$이에요. 조건 만족

**$k=4$**이면 $a_{10}=0$이지만 $a_{22}\neq 0$이에요. 조건 불만족

같은 방법으로 계속하면

• $5\le k\le 9$일 때 $a_{22}\neq 0$

• **$k=10$**일 때 $a_{22}=0$ (조건 만족)

• $k\ge 11$일 때 $a_{22}\neq 0$

따라서 조건을 만족하는 $k$는 $1$, $3$, $10$뿐이에요.

$$1+3+10=14$$

따라서 정답은 ②예요.