2025학년도 수능 22번

(나)에서 $|a_{3}|=|a_{5}|$

$|a_{m}|=|a_{m+2}|$인 $m$의 최솟값이 $3$이므로 $|a_{3}|=|a_{5}|$이고, $m=1,2$에서는 이 식이 성립하지 않아요.

$a_{3},a_{4},a_{5}$의 홀·짝에 따라 경우를 나눕니다 ($a_{3}=\alpha$).

홀, 짝, 홀 ($a_{3},a_{5}$ 홀수)

$$a_{3}=\alpha,\quad a_{4}=\alpha-3,\quad a_{5}=\dfrac{\alpha-3}{2}$$

$|\alpha|=\left|\dfrac{\alpha-3}{2}\right|$ → $\alpha=-3$ 또는 $\alpha=1$.

짝, 짝, 짝

$$a_{3}=\alpha,\quad a_{4}=\dfrac{\alpha}{2},\quad a_{5}=\dfrac{\alpha}{4}$$

$|\alpha|=\left|\dfrac{\alpha}{4}\right|$ → $\alpha=0$.

짝, 홀, 짝 ($a_{4}$만 홀수)

$$a_{3}=\alpha,\quad a_{4}=\dfrac{\alpha}{2},\quad a_{5}=\dfrac{\alpha}{2}-3$$

$|\alpha|=\left|\dfrac{\alpha}{2}-3\right|$ → $\alpha=-6$ 또는 $\alpha=2$.

가능한 $a_{3}$: $-6,-3,0,1,2$.

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$a_{3}$별로 $a_{1}$ 구하기 (정수·(나) 검사)

$a_{3}=-6$

$a_{4}=-3$(홀) → $a_{2}=-12$ 또는 $a_{2}=-3$.

• $a_{2}=-3$이면 $a_{1}=-6$이 되어 $a_{1}=a_{3}$로 $m=1$에서도 $|a_{1}|=|a_{3}|$ — 탈락.

• $a_{2}=-12$ → $a_{1}=-24$ 또는 $a_{1}=-9$. $|a_{1}|=24,\,9$.

$a_{3}=-3$

$a_{2}=-6$이 되지만 $m=2$에서 $|a_{2}|=|a_{4}|$ — 탈락.

$a_{3}=2$

$a_{4}=1$(홀) → $a_{2}=4$ 또는 $a_{2}=5$.

• $a_{2}=4$ → $a_{1}=7$ 또는 $8$.

• $a_{2}=5$ → $a_{1}=10$.

$a_{3}=1$

$a_{4}=-2$이고 (나)에 의해 $a_{2}=2$가 되어야 하는데 맞지 않음 — 탈락.

$a_{3}=0$

$a_{2}\ne 0$이어야 $m=2$에서 $|a_{2}|\ne|a_{4}|$. $a_{2}=3$ → $a_{1}=6$.

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$|a_{1}|$의 합

조건을 만족하는 $|a_{1}|$는 $6,7,8,9,10,24$.

$$6+7+8+9+10+24=64$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{64}$예요.