2025학년도 9월 모평 22번

조건 (나)에서 모든 자연수 $n$에 대해

$$(a_{n+1}-a_{n}+\tfrac{2}{3}k)(a_{n+1}+ka_{n})=0$$

이므로 매 $n$마다

$$a_{n+1}=a_{n}-\dfrac{2}{3}k \quad\text{또는}\quad a_{n+1}=-ka_{n}$$

중 하나가 성립해요.

$a_{1}=k$이므로 $n=1$에서

$$a_{2}=-k^{2} \quad\text{또는}\quad a_{2}=\dfrac{k}{3}$$

(가)로 $a_{3}$ 정하기

$a_{2}=-k^{2}$ ($a_{2}<0$)

$n=2$에서 $a_{3}=a_{2}-\dfrac{2}{3}k$ 또는 $a_{3}=k^{3}$.

(가) $a_{2}a_{3}<0$이려면 $a_{3}>0$이어야 하므로

$$a_{3}=k^{3}$$

$a_{2}=\dfrac{k}{3}$ ($a_{2}>0$)

$a_{3}=-\dfrac{k}{3}$ 또는 $a_{3}=-\dfrac{k^{2}}{3}$ (둘 다 음수, (가) 만족)

---

경로 1: $a_{1}=k$, $a_{2}=-k^{2}$, $a_{3}=k^{3}$

$n=3$에서

$$a_{4}=-k^{4} \quad\text{또는}\quad a_{4}=k^{3}-\dfrac{2}{3}k$$

(ⅰ) $a_{4}=-k^{4}$

$n=4$에서 $a_{5}=k^{5}$ 또는 $a_{5}=-k^{4}-\dfrac{2}{3}k$.

양수 $k$에서 $a_{5}=0$인 경우는 없어요.

(ⅱ) $a_{4}=k^{3}-\dfrac{2}{3}k$

$n=4$에서

$$a_{5}=-k\!\left(k^{3}-\dfrac{2}{3}k\right) \quad\text{또는}\quad a_{5}=k^{3}-\dfrac{4}{3}k$$

$a_{5}=0$에서

$$-k^{2}\!\left(k^{2}-\dfrac{2}{3}\right)=0 \Rightarrow k^{2}=\dfrac{2}{3}$$ $$k^{3}-\dfrac{4}{3}k=0 \Rightarrow k^{2}=\dfrac{4}{3}$$

---

경로 2: $a_{1}=k$, $a_{2}=\dfrac{k}{3}$

$a_{3}=-\dfrac{k}{3}$

$n=3$에서 $a_{4}=-k$ 또는 $a_{4}=\dfrac{k^{2}}{3}$.

$a_{4}=-k$이면 $n=4$에서 $a_{5}=k^{2}\ne 0$ ($k>0$) — 해당 없음.

$a_{4}=\dfrac{k^{2}}{3}$이면

$$a_{5}=\dfrac{k^{2}}{3}-\dfrac{2}{3}k=0 \Rightarrow k^{2}=2$$

$a_{3}=-\dfrac{k^{2}}{3}$

$n=3$에서 $a_{4}=\dfrac{k^{3}}{3}$ 또는 $a_{4}=-\dfrac{k^{2}}{3}-\dfrac{2}{3}k$.

$a_{4}=\dfrac{k^{3}}{3}$이면

$$\dfrac{k^{3}}{3}-\dfrac{2}{3}k=0 \Rightarrow k^{2}=2$$

(중복)

$a_{4}=-\dfrac{k^{2}}{3}-\dfrac{2}{3}k$이면 $a_{5}=0$을 만족하는 양수 $k$는 없어요.

$a_{3}=-\dfrac{k}{3}$, $a_{4}=-k$ 등 나머지 갈래도 $a_{5}=0$이 되지 않아요.

---

$k^{2}$의 합

서로 다른 $k^{2}$는 $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{4}{3}$, $2$, $4$예요.

$$\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+2+4=8$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{8}$예요.