2025학년도 6월 모평 20번

$x=\pi$에서 $y=b$이므로

$$A=\{(\pi,\,b)\}$$

즉 $A$는 항상 점 $1$개예요.

$y=1$과의 교점($B$): $a\sin x+b=1$에서 $\sin x=\dfrac{1-b}{a}$ ($a\ge 1$).

$y=3$과의 교점($C$): $\sin x=\dfrac{3-b}{a}$.

$n(A\cup B\cup C)=3$이 되려면, $A$의 점 $(\pi,\,b)$와 $B$, $C$의 점들을 합쳐 서로 다른 점이 정확히 $3$개가 되도록 $a$, $b$를 정하면 돼요. $b$의 값에 따라 나눕니다.

(ⅰ) $b=1$일 때

$(\pi,\,1)$이 $A$와 $B$에 모두 속해요. $B$에서 $\sin x=0$이면 $x=\pi$뿐이므로 $B$의 점은 $A$와 겹칩니다.

$C$에서 $\sin x=\dfrac{2}{a}$. $n(A\cup B\cup C)=3$이려면 $C$에서 $(0,\,2\pi)$에 서로 다른 점 $2$개가 더 필요해요. 따라서 $0<\dfrac{2}{a}<1$, 즉 $a\ge 3$이어야 해요.

$$3\le a\le 5 \quad\Rightarrow\quad 4\le a+b\le 6$$

(ⅱ) $b=2$일 때

$(\pi,\,2)$는 $y=1$, $y=3$ 위에 없어요. $B$: $\sin x=-\dfrac{1}{a}$, $C$: $\sin x=\dfrac{1}{a}$.

$n(A\cup B\cup C)=3$이 되려면 $B$, $C$에서 각각 점 $1$개씩(합 $2$개)이어야 해요. $\dfrac{1}{a}=1$, $-\dfrac{1}{a}=-1$이므로 $a=1$뿐이에요.

$$a+b=1+2=3$$

(ⅲ) $b=3$일 때

$(\pi,\,3)$이 $A$와 $C$에 모두 속해요. $C$에서 $\sin x=0$이면 $x=\pi$뿐이라 $C$는 $A$와 겹칩니다.

$B$에서 $\sin x=-\dfrac{2}{a}$. (ⅰ)와 같이 $0<\dfrac{2}{a}<1$, $a\ge 3$일 때 $B$에서 점 $2$개가 더 생겨 합이 $3$이에요.

$$3\le a\le 5 \quad\Rightarrow\quad 6\le a+b\le 8$$

(ⅳ) $b=4$일 때

$B$: $\sin x=-\dfrac{3}{a}$, $C$: $\sin x=-\dfrac{1}{a}$.

$n(A\cup B\cup C)=3$을 만족하는 $a$는 $2$뿐이에요.

$$a+b=2+4=6$$

(ⅴ) $b=5$일 때

$B$: $\sin x=-\dfrac{4}{a}$, $C$: $\sin x=-\dfrac{2}{a}$.

$n(A\cup B\cup C)=3$을 만족하는 $a$는 $3$뿐이에요.

$$a+b=3+5=8$$

$a+b$의 최댓값·최솟값

위에서 $a+b$가 될 수 있는 값은

$$3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$$

따라서 $m=3$, $M=8$이에요.

$$M\times m=8\times 3=24$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{24}$예요.