2024학년도 수능 21번

$f_{1}(x)=-x^{2}+6x$, $f_{2}(x)=a\log_{4}(x-5)$($x\ge 6$)라 해요.

$f_{1}(x)=-(x-3)^{2}+9$이므로 $-1\le x<6$에서 최댓값은 $x=3$에서 $9$예요.

$0\le t\le 5$ ($t+1\le 6$)

구간 $\lbrack t-1,t+1\rbrack$이 $x=3$을 포함하는지에 따라 아래와 같아요.

$$g(t)= \begin{cases} -(t+1)^{2}+6(t+1)=-t^{2}+4t+5 & (0\le t<2) \\ 9 & (2\le t\le 4) \\ -(t-1)^{2}+6(t-1)=-t^{2}+8t-7 & (4<t\le 5) \end{cases}$$

이 구간에서 $g(t)$의 최솟값은 $5$예요($t=0$ 또는 $t=5$ 근처).

$t>5$

$5<t\le 7$에서는 $g(t)=\max\{f_{1}(t-1),\,f_{2}(t+1)\}$이고, $t>7$에서는 $f_{2}$가 증가하므로 $g(t)=f_{2}(t+1)$이에요.

$f_{1}(5)=5$이고, $t>5$에서 $g(t)$의 최솟값이 $5$ 미만이 되지 않으려면 특히 $t=6$ 근처에서

$$f_{2}(7)=a\log_{4}2\ge 5$$

이어야 해요. $\log_{4}2=\dfrac{1}{2}$이므로 아래와 같아요.

$$\dfrac{a}{2}\ge 5 \quad\Rightarrow\quad a\ge 10$$

($a>0$이면 $t>7$에서 $g(t)$는 더 커지므로 추가 조건은 없어요.)

따라서 양수 $a$의 최솟값은 $\boxed{10}$예요.