2023학년도 수능 13번

$m^{12}$의 $n$제곱근 $x$는 방정식

$$x^{n}=m^{12} \quad\cdots\cdots \text{㉠}$$

의 실근이에요. 정수 $x$가 존재하려면 $m$을 소인수분해했을 때, 각 소인수 $p$에 대해 $n$이 $p$의 지수 $12e$를 나누어야 합니다 ($m=p^{e}\cdots$일 때 $m^{12}=p^{12e}\cdots$).

$2$ 이상의 자연수 $m=2,3,\ldots,9$마다 ㉠이 정수근을 갖는 $n$의 개수 $f(m)$을 구하면 다음과 같아요.

$m=2$ ($x^{n}=2^{12}$): $n\mid 12$이고 $n\ge 2$ → $n=2,\,3,\,4,\,6,\,12$ → $f(2)=5$

$m=3$ ($x^{n}=3^{12}$): 같게 $f(3)=5$

$m=4$ ($x^{n}=2^{24}$): $n\mid 24$, $n\ge 2$ → $n=2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,12,\,24$ → $f(4)=7$

$m=5$ ($x^{n}=5^{12}$): $f(5)=5$

$m=6$ ($x^{n}=2^{12}\cdot 3^{12}$): $n\mid 12$ → $f(6)=5$

$m=7$: $f(7)=5$

$m=8$ ($x^{n}=2^{36}$): $n\mid 36$, $n\ge 2$ → $n=2,\,3,\,4,\,6,\,9,\,12,\,18,\,36$ → $f(8)=8$

$m=9$ ($x^{n}=3^{24}$): $n\mid 24$, $n\ge 2$ → $f(9)=7$

따라서

$$\sum_{m=2}^{9}f(m) =5+5+7+5+5+5+8+7 =5\times 5+7\times 2+8 =47$$

따라서 정답은 ③예요.