2023학년도 6월 모평 21번

$4\log_{64}\dfrac{3}{4n+16}=\log_{8}\left(\dfrac{3}{4n+16}\right)^{2}$이므로, 이 값이 정수가 되려면

$$\left(\dfrac{3}{4n+16}\right)^{2}=8^{m} \quad (m\text{은 정수}) \quad\cdots\cdots \text{㉠}$$

꼴이 되어야 해요.

그러려면 우선 $4n+16$이 $3$의 배수가 되어야 하므로 $n=3k-1$ ($k$는 $1\le k\le 333$인 자연수)이어야 해요.

이때 ㉠에서

$$\left(\dfrac{1}{4k+4}\right)^{2}=2^{3m},\quad 16(k+1)^{2}=2^{-3m},\quad (k+1)^{2}=2^{-3m-4}$$

이어야 하므로

$$(k+1)^{2}=2^{2},\ 2^{8},\ 2^{14} \quad\Rightarrow\quad k+1=2,\ 2^{4},\ 2^{7}$$

즉 $k=1$, $k=15$, $k=127$이고, $n=2$, $n=44$, $n=380$이에요.

따라서 조건을 만족하는 모든 $n$의 값의 합은

$$2+44+380=426$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{426}$예요.