2024학년도 6월 모평 30번

$8$개 중 $2$개를 꺼내는 경우의 수는 ${}_{8}C_{2}=28$이에요.

(ⅰ) 서로 다른 색

점수는 항상 $12$(짝수, $24$ 이하)이므로 $16$가지 모두 조건을 만족해요.

$$P_{(ⅰ)}=\dfrac{{}_{4}C_{1}\times{}_{4}C_{1}}{28}=\dfrac{16}{28}=\dfrac{4}{7}$$

(ⅱ) 서로 같은 색

점수는 두 수의 곱이에요.

흰 공끼리 ${}_{4}C_{2}=6$가지 중, 곱이 짝수이려면 홀$\times$홀인 $\{1,3\}$($1$가지)을 제외해요.

$$6-{}_{2}C_{2}=5$$

(흰 공끼리 곱은 모두 $24$ 이하예요.)

검은 공끼리 곱이 $24$ 이하의 짝수인 쌍은 $\{4,5\}$(곱 $20$), $\{4,6\}$(곱 $24$)뿐이에요.

$$2\text{가지}$$

따라서 아래와 같아요.

$$P_{(ⅱ)}=\dfrac{5+2}{28}=\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4}$$

구하는 확률은 아래와 같아요.

$$\dfrac{4}{7}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{16}{28}+\dfrac{7}{28}=\dfrac{23}{28}$$

$p=28$, $q=23$이 서로소이므로 아래와 같아요.

$$p+q=51$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{51}$예요.