2023학년도 9월 모평 28번

전체 경우의 수는

$${}_{10}C_{3}=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$$

$1$부터 $10$까지에서 $5$의 배수는 $5$뿐이므로, 곱이 $5$의 배수이려면 선택한 세 수에 $5$가 반드시 포함되어야 해요.

$3$으로 나눈 나머지에 따라 세 묶음으로 나눕니다.

나머지	꼴	해당 수
$1$	$3k-2$	$\{1,\,4,\,7,\,10\}$
$2$	$3k-1$	$\{2,\,5,\,8\}$
$0$	$3k$	$\{3,\,6,\,9\}$

합이 $3$의 배수가 되려면 (나머지 합 $\equiv 0\pmod 3$)

• 세 수가 서로 다른 나머지 $(1,\,2,\,0)$ 각 $1$개
• 세 수 모두 나머지 $1$ $(1,\,1,\,1)$
• 세 수 모두 나머지 $2$ $(2,\,2,\,2)$

나머지 $0$만 세 개 $(0,\,0,\,0)$인 $\{3,\,6,\,9\}$는 $5$가 없어 곱이 $5$의 배수가 될 수 없습니다.

(1) $3k-2$, $3k-1$, $3k$를 각각 $1$개씩

가운데 수가 $5$ ($3k-1$에서 $5$ 선택)

$${}_{4}C_{1}\times {}_{3}C_{1}=4\times 3=12$$

$3k-2$에서 $10$ ($10=2\times 5$)

$${}_{3}C_{1}\times {}_{3}C_{1}=3\times 3=9$$

$5$와 $10$을 모두 포함 (겹침)

$${}_{3}C_{1}=3$$

포함·배제: $12+9-3=18$

(2) $3k-2$만 세 개 — $\{1,\,4,\,7,\,10\}$

곱에 $5$가 들어가려면 $10$이 포함되어야 하므로, $10$과 나머지 $2$개를 $\{1,\,4,\,7\}$에서 선택:

$${}_{3}C_{2}=3$$

(3) $3k-1$만 세 개 — $\{2,\,5,\,8\}$

$5$를 포함하는 경우는 $\{2,\,5,\,8\}$ 한 가지뿐이에요.

따라서 조건을 만족하는 경우의 수는

$$18+3+1=22$$

구하는 확률은

$$\dfrac{22}{120}=\dfrac{11}{60}$$

따라서 정답은 ③예요.