2024학년도 9월 모평 27번

일대일함수 $f:X\to Y$의 전체 개수는 아래와 같아요.

$${}_{7}P_{4}=7\times 6\times 5\times 4=840$$

(가) $f(2)=2$이면 $f(1),f(3),f(4)$는 $Y\setminus\{2\}$의 서로 다른 $3$개를 순서대로 고르는 것이에요.

$${}_{6}P_{3}=6\times 5\times 4=120$$

(나) $f(2)=2$이므로 아래와 같아요.

$$f(1)\times f(2)\times f(3)\times f(4)=2\times f(1)f(3)f(4)$$

이 곱이 $4$의 배수가 되려면 $f(1)f(3)f(4)$가 짝수(최소 하나의 짝수)이면 돼요.

$Y\setminus\{2\}$에서 홀수만 고르는 경우는 $\{1,3,5,7\}$ 네 수 중 $3$개를 나열하는 것이에요.

$${}_{4}P_{3}=4\times 3\times 2=24$$

**(가)**와 **(나)**를 모두 만족하는 함수의 개수는 아래와 같아요.

$$120-24=96$$

따라서 구하는 확률은 아래와 같아요.

$$\dfrac{96}{840}=\dfrac{4}{35}$$

따라서 정답은 ④예요.