2024학년도 6월 모평 21번

ㄱ $t=1$일 때 두 곡선은 $x=1$에서 $y=1$로 만나므로 $f(1)=1$이에요.

$t=2$일 때 $x=2$에서 $y=2-\log_{2}2=1$, $y=2^{0}=1$이므로 $f(2)=2$예요.

ㄱ은 참이므로 $A=100$이에요.

ㄴ $t$가 증가하면 $y=t-\log_{2}x$는 위로, $y=2^{x-t}$는 오른쪽으로 이동해 교점의 $x$좌표 $f(t)$가 증가해요. ㄴ은 참이므로 $B=10$이에요.

ㄷ $g(x)=t-\log_{2}x$(감소), $h(x)=2^{x-t}$(증가)라 하면, $x=t$에서 아래와 같아요.

$$g(t)=t-\log_{2}t,\qquad h(t)=1$$

$f(t)\ge t$이려면 $x=t$에서 $g(t)\ge h(t)$, 즉

$$t-\log_{2}t\ge 1\quad\Longleftrightarrow\quad \log_{2}t\le t-1\qquad\cdots\cdots\text{㉠}$$

$y=\log_{2}t$와 $y=t-1$은 $t=1$, $t=2$에서 만나고, $1<t<2$에서는 $y=\log_{2}t$가 더 위에 있어 ㉠이 성립하지 않아요. 따라서 ㄷ은 거짓이고 $C=0$이에요.

$$A+B+C=100+10+0=110$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{110}$예요.