2022학년도 수능 30번

주사위 눈이 $5$ 이상일 확률은 $\dfrac{1}{3}$, $4$ 이하일 확률은 $\dfrac{2}{3}$이에요.

$a_{5}+b_{5}\ge 7$인 사건을 $A$, 어떤 $k(1\le k\le 5)$에 $a_{k}=b_{k}$인 사건을 $B$라 합니다.

$5$번 시행 후 총 공의 개수는 $2w+(5-w)=5+w$이고, 여기서 $w$는 $5$ 이상이 나온 횟수예요.

$a_{5}+b_{5}$	$w$	분해
$7$	$2$	$2+2+1+1+1$
$8$	$3$	$2+2+2+1+1$
$9$	$4$	$2+2+2+2+1$
$10$	$5$	$2+2+2+2+2$

따라서

$P(A)=$

${}_{5}C_{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}+{}_{5}C_{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+{}_{5}C_{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1}+{}_{5}C_{5}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}$

$=\dfrac{80+40+10+1}{3^{5}}$

$=\dfrac{131}{243}$

$a_{k}=b_{k}$가 될 조건

$k$번째까지 흰 공 $2w_{k}$개, 검은 공 $k-w_{k}$개이므로 $2w_{k}=k-w_{k}$, 즉 $3w_{k}=k$. $1\le k\le 5$에서 $k=3$, $w_{3}=1$뿐이에요.

사건 $A\cap B$

• $a_{5}+b_{5}=7$ ($w=2$): 처음 $3$번 중 $5$ 이상 $1$번, 나머지 $2$번 중 $5$ 이상 $1$번

$${}_{3}C_{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\times{}_{2}C_{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{48}{243}$$

• $a_{5}+b_{5}=8$ ($w=3$): 처음 $3$번 중 $5$ 이상 $1$번, 나머지 $2$번 모두 $5$ 이상

$${}_{3}C_{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{12}{243}$$

$a_{5}+b_{5}=9,10$에서는 $3$번째까지 $5$ 이상이 정확히 $1$번이 될 수 없으므로 $A\cap B$에 포함되지 않아요.

$$P(A\cap B)=\dfrac{48+12}{243}=\dfrac{60}{243}$$ $$P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{60}{131}$$

$p=131$, $q=60$이 서로소이므로 $p+q=191$이에요.

따라서 구하는 값은 $\boxed{191}$예요.