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2025년 6월 모의평가 미적분Ⅰ > 3. 적분 > L. 정적분 > 속도와 거리 난이도

2025학년도 6월 모평 19번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

시각 $t = 0$ 일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$ 의 시각 $t\ (t \geq 0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 가

v(t) = \begin{cases} -t^{2} + t + 2 & (0 \le t \le 3) \\ k(t - 3) - 4 & (t > 3) \end{cases}

이다. 출발한 후 점 $P$ 의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각에서의 점 $P$ 의 위치가 $1$ 일 때, 양수 $k$ 의 값을 구하시오. [3점]

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

운동 방향이 바뀌는 시각은 속도가 $0$ 이 되는 시각이에요. $0\le t\le 3$ 에서 $-t^{2}+t+2=0$ 을 먼저 풀어 보세요.
$t>3$ 에서 $k(t-3)-4=0$ 이면 두 번째로 방향이 바뀌는 시각은 $t=\dfrac{4}{k}+3$ 이에요( $k>0$ ). 위치는 $t=0$ 부터 속도를 적분한 값이에요.
$t=0$ 부터 $\dfrac{4}{k}+3$ 까지 $v(t)$ 를 구간별로 적분하면 $\dfrac{3}{2}-\dfrac{8}{k}$ 꼴이 돼요. 이 값이 $1$ 이 되도록 $k$ 를 구해요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

속도가 $0$ 일 때 운동 방향이 바뀝니다.

첫 번째 방향 전환 ( $0\le t\le 3$ )

-t^{2}+t+2=0 \quad\Rightarrow\quad -(t-2)(t+1)=0

$0\le t\le 3$ 에서 $t=2$ 이므로, 첫 번째로 방향이 바뀌는 시각은 $t=2$ 예요.

두 번째 방향 전환 ( $t>3$ )

k(t-3)-4=0 \quad\Rightarrow\quad t-3=\dfrac{4}{k} \quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{4}{k}+3 \quad(k>0)

두 번째로 방향이 바뀌는 시각은 $t=\dfrac{4}{k}+3$ 예요.

두 번째 전환 시각에서의 위치

위치는 $t=0$ 부터 속도를 적분한 값이므로

x\!\left(\dfrac{4}{k}+3\right) =\int_{0}^{3}(-t^{2}+t+2)\,dt +\int_{3}^{\dfrac{4}{k}+3}\{k(t-3)-4\}\,dt

$0\le t\le 3$ 구간

\int_{0}^{3}(-t^{2}+t+2)\,dt =\left[-\dfrac{1}{3}t^{3}+\dfrac{1}{2}t^{2}+2t\right]_{0}^{3} =-9+\dfrac{9}{2}+6 =\dfrac{3}{2}

$3<t\le \dfrac{4}{k}+3$ 구간 ( $u=t-3$ 로 치환)

\int_{3}^{\dfrac{4}{k}+3}\{k(t-3)-4\}\,dt =\int_{0}^{\dfrac{4}{k}}(ku-4)\,du =\left[\dfrac{k}{2}u^{2}-4u\right]_{0}^{\dfrac{4}{k}} =\dfrac{8}{k}-\dfrac{16}{k} =-\dfrac{8}{k}

따라서

x\!\left(\dfrac{4}{k}+3\right) =\dfrac{3}{2}-\dfrac{8}{k}

문제에서 이 위치가 $1$ 이므로

\dfrac{3}{2}-\dfrac{8}{k}=1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{8}{k}=\dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad k=16

( $k=16>0$ 이고, $\dfrac{4}{k}+3=\dfrac{7}{4}>3$ 이므로 조건에 맞아요.)

따라서 구하는 값은 $\boxed{16}$ 예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

55회 (12.2%)

개념 출제

10회 (2.2%)

개념 출제 (회차 기준)

10회 (66.7%)

같은 개념의 평균 난이도는 3.30 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 3 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 4회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 7회 난이도 4: 3회 난이도 5: 0회

2025학년도 6월 모평 19번

문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

첫 번째 방향 전환 ( $0\le t\le 3$ )

두 번째 방향 전환 ( $t>3$ )

두 번째 전환 시각에서의 위치

출제 경향

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문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

첫 번째 방향 전환 (0≤t≤30\le t\le 30≤t≤3)

두 번째 방향 전환 (t>3t>3t>3)

두 번째 전환 시각에서의 위치

출제 경향

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첫 번째 방향 전환 ( $0\le t\le 3$ )

두 번째 방향 전환 ( $t>3$ )