2024학년도 수능 10번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

시각 $t = 0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $P$ , $Q$ 의 시각 $t\ (t \geq 0)$ 에서의 속도가 각각

$v_{1}(t) = t^{2} - 6t + 5$ , $v_{2}(t) = 2t - 7$

이다. 시각 $t$ 에서의 두 점 $P$ , $Q$ 사이의 거리를 $f(t)$ 라 할 때, 함수 $f(t)$ 는 구간 $\lbrack 0, a\rbrack$ 에서 증가하고, 구간 $\lbrack a, b\rbrack$ 에서 감소하고, 구간 $\lbrack b, \infty)$ 에서 증가한다. 시각 $t = a$ 에서 $t = b$ 까지 점 $Q$ 가 움직인 거리는? (단, $0< a< b$ ) [4점]

정답 체크

선택지를 클릭하면 바로 채점됩니다.

힌트 및 풀이

STEP 힌트

속도를 $0$ 부터 적분하면 각 점의 위치 $x_{1}(t)$ , $x_{2}(t)$ 를 구할 수 있어요. $f(t)=|x_{1}(t)-x_{2}(t)|$ 이에요.
$x_{1}(t)-x_{2}(t)=\dfrac{1}{3}t^{3}-4t^{2}+12t=g(t)$ 라 두면, $t\ge 0$ 에서 $g(t)$ 의 증감을 보면 $f(t)$ 가 언제 증가·감소하는지 알 수 있어요. $g'(t)=(t-2)(t-6)$ 이에요.
조건에서 $a=2$ , $b=6$ 이에요. $t=2$ 에서 $t=6$ 까지 점 $Q$ 가 움직인 거리는 $\displaystyle\int_{2}^{6}|v_{2}(t)|\,dt$ 이고, $v_{2}(t)=0$ 이 되는 $t=\dfrac{7}{2}$ 에서 적분을 나눠요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

시각 $t$ 에서의 위치를 $x_{1}(t)$ , $x_{2}(t)$ 라 하면 ( $t\ge 0$ ) 아래와 같아요.

x_{1}(t)=\int_{0}^{t}(t^{2}-6t+5)\,dt =\dfrac{1}{3}t^{3}-3t^{2}+5t

x_{2}(t)=\int_{0}^{t}(2t-7)\,dt=t^{2}-7t

두 점 사이의 거리는 아래와 같아요.

f(t)=|x_{1}(t)-x_{2}(t)| =\left|\dfrac{1}{3}t^{3}-4t^{2}+12t\right|

$g(t)=\dfrac{1}{3}t^{3}-4t^{2}+12t$ 라 하면 아래와 같아요.

g'(t)=t^{2}-8t+12=(t-2)(t-6)

$t$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$6$	$\cdots$
$g'(t)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(t)$	$0$		$\dfrac{32}{3}$		$0$

$t\ge 0$ 에서 $g(t)\ge 0$ 이고, $g$ 는 $[0,2]$ 에서 증가, $[2,6]$ 에서 감소, $[6,\infty)$ 에서 다시 증가하므로 $f(t)=|g(t)|=g(t)$ 의 증감도 같아요. 따라서 아래와 같아요.

a=2,\quad b=6

$t=2$ 에서 $t=6$ 까지 점 $Q$ 가 움직인 거리 $l$ 은 아래와 같아요.

l=\int_{2}^{6}|2t-7|\,dt

$v_{2}(t)=2t-7=0$ 에서 $t=\dfrac{7}{2}$ 이므로 아래와 같아요.

\begin{aligned} l &=\int_{2}^{\dfrac{7}{2}}(-2t+7)\,dt+\int_{\dfrac{7}{2}}^{6}(2t-7)\,dt \\ &=\bigl[-t^{2}+7t\bigr]_{2}^{\dfrac{7}{2}}+\bigl[t^{2}-7t\bigr]_{\dfrac{7}{2}}^{6} \\ &=\dfrac{9}{4}+\dfrac{25}{4}=\dfrac{17}{2} \end{aligned}

따라서 정답은 ②예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

55회 (12.2%)

개념 출제

10회 (2.2%)

개념 출제 (회차 기준)

10회 (66.7%)

같은 개념의 평균 난이도는 3.30 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 3 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 4회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 7회 난이도 4: 3회 난이도 5: 0회

2024학년도 수능 10번

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