2024학년도 6월 모평 14번

$v(t)=0$인 $t$는 $0,\,1,\,a,\,2a$예요. $t\ge 0$에서 속도 부호가 바뀌는 횟수가 방향 전환 횟수와 같아요.

$a\neq 0,\,\dfrac{1}{2},\,1$이면 네 영근이 $t>0$에서 일반적으로 세 번 갈라지므로, 출발 후 방향이 세 번 바뀌어요. 따라서 조건을 만족하는 $a$는 아래 세 경우만 검토하면 돼요.

(ⅰ) $a=0$

$$v(t)=-t^{3}(t-1)$$

$t=0$에서 중근이라 출발 직후에는 방향이 바뀌지 않고, $t=1$에서만 방향이 바뀌어요.

$$\int_{0}^{2}v(t)\,dt =\int_{0}^{2}(-t^{4}+t^{3})\,dt =\left[-\dfrac{1}{5}t^{5}+\dfrac{1}{4}t^{4}\right]_{0}^{2} =-\dfrac{12}{5}$$

(ⅱ) $a=\dfrac{1}{2}$

$$v(t)=-t\left(t-\dfrac{1}{2}\right)(t-1)^{2}$$

$t=\dfrac{1}{2}$에서만 방향이 바뀌어요.

$$\int_{0}^{2}v(t)\,dt =\int_{0}^{2}\left(-t^{4}+\dfrac{5}{2}t^{3}-2t^{2}+\dfrac{1}{2}t\right)dt =-\dfrac{11}{15}$$

(ⅲ) $a=1$

$$v(t)=-t(t-1)^{2}(t-2)$$

$t=2$에서만 방향이 바뀌어요.

$$\int_{0}^{2}v(t)\,dt =\int_{0}^{2}(-t^{4}+4t^{3}-5t^{2}+2t)\,dt =\dfrac{4}{15}$$

세 경우의 위치 변화량은 $-\dfrac{12}{5}$, $-\dfrac{11}{15}$, $\dfrac{4}{15}$이므로, 그중 최댓값은 $\dfrac{4}{15}$예요.

따라서 정답은 ③예요.