2022학년도 수능 14번

$x(t)=t(t-1)(at+b)$에 $t=0$, $t=1$을 대입하면

$$x(0)=0, \qquad x(1)=0$$

이므로, $t=0$과 $t=1$에서 점 $P$는 수직선의 원점에 있어요.

또 $\displaystyle \int_{0}^{1}|v(t)|\,dt=2$이므로, $t=0$에서 $t=1$까지 점 $P$가 움직인 거리는 $2$예요. ($v(t)=x'(t)$)

ㄱ.

위치의 변화량은

$$\int_{0}^{1} v(t)\,dt = x(1)-x(0)=0-0=0$$

이므로 ㄱ은 참이에요.

ㄴ.

$0<t_{1}<1$에서 $|x(t_{1})|>1$이면, 어떤 순간에 점 $P$는 원점에서 $1$보다 멀리 떨어져 있어요.

$t=0$에서 원점에서 출발해 $t=1$에 다시 원점으로 돌아오려면, 한 번 $|x|>1$인 곳까지 갔다 오는 경우만 해도 이동 거리는 $1$을 넘어가는 구간을 왕복해야 하므로 $2$보다 커집니다. (엄밀히는 $|x(t_{1})|>1$이면 왕복 거리 $>2$)

그런데 실제 이동 거리는 $2$이므로, 그런 $t_{1}$은 존재할 수 없어요. ㄴ은 거짓이에요.

ㄷ.

$0\le t\le 1$에서 항상 $|x(t)|<1$이면, 점 $P$는 원점에서 거리 $1$ 미만인 범위 안에서만 움직여요.

시작과 끝이 모두 원점이고, 이동 거리가 $2$이면, 같은 방향으로만 $1$ 미만만큼 갔다 오면 거리는 $2$ 미만이에요. 따라서 $0<t<1$ 안에서 방향을 바꾸는 시점이 있어야 하고, 그때 속도가 $0$이 되며 위치는 원점이어야 합니다. 즉 $x(t_{2})=0$인 $t_{2}\in(0,\,1)$이 존재해요. ㄷ은 참이에요.

옳은 것은 ㄱ, ㄷ뿐이므로, 따라서 정답은 ③예요.