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2023년 9월 모의평가 미적분Ⅰ > 1. 함수의 극한과 연속 > G. 함수의 극한 > 그래프와 도형의 성질에 관한 극한 난이도

2023학년도 9월 모평 12번

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문제

실수 $t(t> 0)$ 에 대하여 직선 $y = x + t$ 와 곡선 $y = x^{2}$ 이 만나는 두 점을 $A$ , $B$ 라 하자. 점 $A$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y = x^{2}$ 과 만나는 점 중 $A$ 가 아닌 점을 $C$ , 점 $B$ 에서 선분 $AC$ 에 내린 수선의 발을 $H$ 라 하자.\

$\displaystyle \lim\limits_{t \rightarrow 0+}\ \dfrac{\overline{AH} - \overline{CH}}{t}$ 의 값은? (단, 점 $A$ 의 $x$ 좌표는 양수이다.) [4점]

정답 체크

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힌트 및 풀이

STEP 힌트

$y=x+t$ 와 $y=x^{2}$ 의 교점은 $x^{2}-x-t=0$ 의 두 실근이에요. $t>0$ 일 때 $x$ 좌표가 양수인 교점을 $A$ , 다른 교점을 $B$ 로 두고 근을 $\alpha$ , $\beta$ ( $\alpha>\beta$ )라 하면 $A(\alpha,\alpha^{2})$ , $B(\beta,\beta^{2})$ 로 쓸 수 있어요.
$y=\alpha^{2}$ 인 수평선과 $y=x^{2}$ 의 다른 교점은 $x=-\alpha$ 이므로 $C(-\alpha,\alpha^{2})$ 예요. $AC$ 는 수평이므로 $B$ 에서 $AC$ 에 내린 수선의 발 $H$ 는 $(\beta,\alpha^{2})$ 예요.
$\overline{AH}=\alpha-\beta$ , $\overline{CH}=\beta-(-\alpha)=\alpha+\beta$ 이므로 $\overline{AH}-\overline{CH}=-2\beta$ 로 정리돼요. $\beta$ 를 근의 공식으로 나타낸 뒤 $t\to 0+$ 에서의 극한을 구하면 돼요.
$\beta=\dfrac{1-\sqrt{1+4t}}{2}$ 일 때 $\dfrac{\sqrt{1+4t}-1}{t}$ 꼴의 극한은 분모에 켤레식을 곱해 보세요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

직선 $y=x+t$ 와 곡선 $y=x^{2}$ 의 교점의 $x$ 좌표는

x^{2}=x+t \quad\Rightarrow\quad x^{2}-x-t=0

을 만족해요.

두 근을 $\alpha$ , $\beta$ ( $\alpha>\beta$ )라 하면, $t>0$ 이고 점 $A$ 의 $x$ 좌표가 양수이므로

A(\alpha,\alpha^{2}),\qquad B(\beta,\beta^{2})

이에요. 근의 공식에 의해

\alpha=\dfrac{1+\sqrt{1+4t}}{2},\qquad \beta=\dfrac{1-\sqrt{1+4t}}{2}

이에요.

점 $A$ 를 지나 $x$ 축에 평행한 직선은 $y=\alpha^{2}$ 이고, $y=x^{2}$ 과의 교점은 $x=\pm\alpha$ 이므로 $y=x^{2}$ 의 대칭성에 의해

C(-\alpha,\alpha^{2})

예요 ( $x=\alpha$ 는 점 $A$ ).

선분 $AC$ 는 $y=\alpha^{2}$ 위의 수평선분이고, $B(\beta,\beta^{2})$ 에서 이 직선에 내린 수선의 발은

H(\beta,\alpha^{2})

이에요.

따라서

\overline{AH}=\alpha-\beta,\qquad \overline{CH}=\beta-(-\alpha)=\alpha+\beta

이므로

\overline{AH}-\overline{CH}=(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)=-2\beta

이에요.

\lim_{t\to 0+}\dfrac{\overline{AH}-\overline{CH}}{t} =\lim_{t\to 0+}\dfrac{-2\beta}{t}

이고, $\beta=\dfrac{1-\sqrt{1+4t}}{2}$ 이므로

-2\beta=-(1-\sqrt{1+4t})=\sqrt{1+4t}-1

이에요.

\lim_{t\to 0+}\dfrac{\sqrt{1+4t}-1}{t} =\lim_{t\to 0+}\dfrac{(\sqrt{1+4t}-1)(\sqrt{1+4t}+1)}{t(\sqrt{1+4t}+1)} =\lim_{t\to 0+}\dfrac{4t}{t(\sqrt{1+4t}+1)} =\lim_{t\to 0+}\dfrac{4}{\sqrt{1+4t}+1} =2

예요.

따라서 정답은 ②예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

29회 (6.4%)

개념 출제

2회 (0.4%)

개념 출제 (회차 기준)

2회 (13.3%)

같은 개념의 평균 난이도는 3.50 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 3 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 1회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 1회 난이도 4: 1회 난이도 5: 0회

2023학년도 9월 모평 12번

문제

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STEP 힌트

최종 풀이

출제 경향

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