2024학년도 6월 모평 11번

점 $P$를 곡선 $y=x^{2}$ 위의 $(s,s^{2})$라 하면, 거리가 최소일 때 접선의 기울기가 직선 $y=2tx-1$의 기울기 $2t$와 같아요.

$f(x)=x^{2}$이면 $f'(x)=2x$이므로 아래와 같아요.

$$2s=2t\quad\Rightarrow\quad s=t$$

따라서 $P(t,t^{2})$예요.

직선 $OP$는 원점을 지나고 기울기가 $\dfrac{t^{2}}{t}=t$이므로 $y=tx$예요. $y=2tx-1$과 만나는 점 $Q$는

$$tx=2tx-1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1}{t}$$ $$y=2t\cdot\dfrac{1}{t}-1=1$$

이므로 $Q\left(\dfrac{1}{t},\,1\right)$예요.

$$\overline{PQ} =\sqrt{\left(\dfrac{1}{t}-t\right)^{2}+(1-t^{2})^{2}}$$

$0<t<1$이면 $1-t^{2}>0$이고, 아래와 같아요.

$$\left(\dfrac{1}{t}-t\right)^{2}+(1-t^{2})^{2} =(1-t^{2})^{2}\left(\dfrac{1}{t^{2}}+1\right)$$

이므로 아래와 같아요.

$$\overline{PQ}=(1-t^{2})\sqrt{\dfrac{1}{t^{2}}+1}$$

따라서 아래와 같아요.

$$\dfrac{\overline{PQ}}{1-t} =\dfrac{(1-t^{2})\sqrt{\dfrac{1}{t^{2}}+1}}{1-t} =(1+t)\sqrt{\dfrac{1}{t^{2}}+1}$$

$t\to 1-$일 때 극한은 아래와 같아요.

$$\lim_{t\to 1-}\dfrac{\overline{PQ}}{1-t} =2\sqrt{2}$$

따라서 정답은 ③예요.