2025학년도 수능 21번

조건이 말하는 것

$\alpha$에 대해 $\displaystyle\lim_{x\to\alpha}\dfrac{f(2x+1)}{f(x)}$가 존재하려면 다음이 필요해요.

• $f(\alpha)\ne 0$이면 극한값은 $\dfrac{f(2\alpha+1)}{f(\alpha)}$.

• $f(\alpha)=0$이면 $x\to\alpha$일 때 분자·분모가 모두 $0$으로 가면서 극한이 존재해야 하므로, **$f(2\alpha+1)=0$**도 성립해야 해요. $\cdots\cdots$ ㉠

$f(x)=0$이 중근을 갖거나 서로 다른 세 실근을 가지면, 그 근 중 하나에서 ㉠을 만족하지 못할 수 있어요.

따라서 실근은 $1$개뿐이고, 그 근을 $t$라 하면 ㉠에 의해

$$t=2t+1 \quad\Rightarrow\quad t=-1$$

$a$, $b$ 정하기

$f(-1)=0$이므로

$$-1+a-b+4=0 \quad\Rightarrow\quad b=a+3$$ $$\begin{aligned} f(x)&=x^{3}+ax^{2}+(a+3)x+4 \\ &=(x+1)\{x^{2}+(a-1)x+4\} \end{aligned}$$

$x^{2}+(a-1)x+4=0$이 실근을 갖지 않으려면 판별식 $D<0$:

$$D=(a-1)^{2}-16<0 \quad\Rightarrow\quad (a-5)(a+3)<0$$ $$-3<a<5$$

$a$는 정수이므로 $a\in\{-2,-1,0,1,2,3,4\}$.

$f(1)$의 최댓값

$$f(1)=1+a+b+4=1+a+(a+3)+4=2a+8$$

$a$가 정수이고 $-3<a<5$이므로 $a=4$일 때 최대:

$$f(1)=2\cdot 4+8=16$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{16}$예요.