2026학년도 9월 모평 13번

$f(x)=x^{2}+6x+12$이므로

$$\begin{aligned} &\lim_{x \to a}\dfrac{x^{2}}{(f(x))^{2}-k(x+2)f(x)} \\ &=\lim_{x \to a}\dfrac{x^{2}}{f(x)\{f(x)-k(x+2)\}} \\ &=\lim_{x \to a}\dfrac{x^{2}}{(x^{2}+6x+12)\{x^{2}+(6-k)x+12-2k\}} \end{aligned}$$

$f(x)=(x+3)^{2}+3>0$이므로, 임의의 실수 $a$에서 극한값이 존재하려면 이차식

$$g(x)=x^{2}+(6-k)x+12-2k$$

의 실근 처리를 따져야 합니다.

(ⅰ) $g(x)=0$의 실근이 없을 때

분모가 $0$이 되는 $x$가 없으므로 모든 $a$에서 극한값이 존재합니다. 판별식 $D$에 대하여

$$\begin{aligned} D&=(6-k)^{2}-4(12-2k) \\ &=k^{2}-4k-12 \\ &=(k-6)(k+2)<0 \end{aligned}$$

따라서 $-2<k<6$입니다.

(ⅱ) $g(x)=0$의 실근이 $0$뿐일 때

$g(x)=0$에 $x=0$을 대입하면 $12-2k=0$, 즉 $k=6$입니다. 이때

$$g(x)=x^{2}+(6-6)x+12-12=x^{2}$$

이므로

$$\begin{aligned} \lim_{x \to a}\dfrac{x^{2}}{(x^{2}+6x+12)\{x^{2}+(6-k)x+12-2k\}} &=\lim_{x \to a}\dfrac{x^{2}}{x^{2}(x^{2}+6x+12)} \\ &=\lim_{x \to a}\dfrac{1}{x^{2}+6x+12} \end{aligned}$$

모든 실수 $a$에서 극한값이 존재합니다.

정수 $k$의 개수

(ⅰ), (ⅱ)에서 $-2<k\le 6$입니다. 이를 만족하는 정수 $k$는

$$-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$$

의 $8$개입니다.

따라서 정답은 ④예요.