2022학년도 9월 모평 26번

주머니에서 꺼낸 $2$개의 공이 모두 흰색인 사건을 $E$, 주사위 눈이 $5$ 이상인 사건을 $F$라고 할게요. 구하는 것은 $E$가 일어났을 때 $F$가 일어날 조건부 확률 $P(F\mid E)$예요.

조건부 확률의 정의에 따라

$$P(F\mid E)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(E)}$$

이에요.

$P(E)$ 구하기
주사위 한 번에서 눈이 $5$ 이상일 확률은 $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, $4$ 이하일 확률은 $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$이에요.

• 눈이 $5$ 이상이면 주머니 $A$에서 공 $2$개를 동시에 뽑아요. $A$에는 흰 공 $2$개·검은 공 $4$개이므로 둘 다 흰색일 확률은 $$\dfrac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}=\dfrac{1}{15}$$ 이에요.
• 눈이 $4$ 이하이면 주머니 $B$에서 뽑아요. $B$에는 흰 공 $3$개·검은 공 $3$개이므로 둘 다 흰색일 확률은 $$\dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}=\dfrac{3}{15}$$ 이에요.

서로 배반이므로

$$P(E)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{15}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{15} =\dfrac{1}{45}+\dfrac{6}{45} =\dfrac{7}{45}$$

이에요.

$P(E\cap F)$ 구하기
$E\cap F$는 「눈이 $5$ 이상이고, 그때 $A$에서 뽑은 $2$개가 모두 흰색」이에요. 따라서

$$P(E\cap F)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{6}\mathrm{C}_{2}} =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{15} =\dfrac{1}{45}$$

이에요.

결론

$$P(F\mid E)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(E)}=\dfrac{\dfrac{1}{45}}{\dfrac{7}{45}}=\dfrac{1}{7}$$

이에요.

따라서 정답은 ①이에요.