2026학년도 9월 모평 10번

등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$ $(a>0,\ r>0)$이라 하면 $a_2=ar=1$입니다.

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{6}(-1)^k S_k &=-S_1+S_2-S_3+S_4-S_5+S_6 \\ &=(S_2-S_1)+(S_4-S_3)+(S_6-S_5) \\ &=a_2+a_4+a_6 \end{aligned}$$

조건에서 $a_2+a_4+a_6=21$이고, $a_2=ar=1$이므로

$$\begin{aligned} a_4&=ar^3=(ar)r^2=r^2 \\ a_6&=ar^5=(ar)r^4=r^4 \end{aligned}$$

따라서 $1+r^2+r^4=21$, 즉 $r^4+r^2-20=0$입니다.

$$\begin{aligned} (r^2+5)(r^2-4)&=0 \\ r^2&=4 \quad (r>0) \\ r&=2 \end{aligned}$$

$ar=1$에서 $a=\dfrac{1}{2}$이므로

$$\begin{aligned} S_n&=\dfrac{\dfrac{1}{2}(2^n-1)}{2-1} \\ &=\dfrac{1}{2}(2^n-1) \end{aligned}$$

구하는 값은

$$\begin{aligned} S_2+S_7 &=\dfrac{1}{2}(2^2-1)+\dfrac{1}{2}(2^7-1) \\ &=\dfrac{3}{2}+\dfrac{127}{2} \\ &=65 \end{aligned}$$

따라서 정답은 ③예요.