2024학년도 9월 모평 28번

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문제

주머니 $A$ 에는 숫자 $1$ , $2$ , $3$ 이 하나씩 적힌 $3$ 개의 공이 들어 있고, 주머니 $B$ 에는 숫자 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ 가 하나씩 적힌 $4$ 개의 공이 들어 있다. 두 주머니 $A$ , $B$ 와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

규칙

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $3$ 의 배수이면

주머니 $A$ 에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼내고,

나온 눈의 수가 $3$ 의 배수가 아니면

주머니 $B$ 에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼낸다.

꺼낸 $2$ 개의 공에 적혀 있는 수의 차를 기록한 후,

공을 꺼낸 주머니에 이 $2$ 개의 공을 다시 넣는다.

이 시행을 $2$ 번 반복하여 기록한 두 개의 수의 평균을 $\overline{X}$ 라 할 때, $P(\overline{X} = 2)$ 의 값은? [4점]

정답 체크

선택지를 클릭하면 바로 채점됩니다.

힌트 및 풀이

STEP 힌트

한 번의 시행에서 기록되는 수를 $X$ 라 해요. 주사위가 $3$ 의 배수( $3,\,6$ )일 확률은 $\dfrac{1}{3}$ 이고, 그때는 $A$ 에서 $2$ 개를 꺼내 차의 절댓값을 기록해요.
$A$ 에서 $2$ 개를 꺼낼 때 가능한 차는 $1$ 또는 $2$ 뿐이에요. $B$ 에서는 $(1,2),(2,3),(3,4)$ 처럼 차가 $1$ 인 경우가 $3$ 가지, 차가 $2$ · $3$ 인 경우도 각각 세어 $P(X=1),\,P(X=2),\,P(X=3)$ 을 구해 보세요.
두 번 시행한 뒤 평균이 $2$ 이려면 두 기록값의 합이 $4$ 여야 해요. $(1,3),\,(2,2),\,(3,1)$ 순서로 나올 확률을 더하면 돼요. 두 시행은 서로 독립이에요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

한 번의 시행에서 기록되는 수를 확률변수 $X$ 라 해요.

주사위 눈이 $3$ 의 배수( $3,\,6$ )일 확률은 $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ , 아닐 확률은 $\dfrac{2}{3}$ 이에요.

주머니 $A$ ( $\{1,2,3\}$ 에서 $2$ 개 동시에 꺼냄)

꺼낸 공	차
$(1,2)$	$1$
$(1,3)$	$2$
$(2,3)$	$1$

P(X=1\mid A)=\dfrac{2}{3},\quad P(X=2\mid A)=\dfrac{1}{3}

주머니 $B$ ( $\{1,2,3,4\}$ 에서 $2$ 개, 전체 ${}_{4}C_{2}=6$ )

꺼낸 공	차
$(1,2),\,(2,3),\,(3,4)$	$1$
$(1,3),\,(2,4)$	$2$
$(1,4)$	$3$

P(X=1\mid B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2},\quad P(X=2\mid B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3},\quad P(X=3\mid B)=\dfrac{1}{6}

한 번의 시행에서 아래와 같아요.

\begin{aligned} P(X=1) &=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2} =\dfrac{5}{9} \\[4pt] P(X=2) &=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{3} \\[4pt] P(X=3) &=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{6} =\dfrac{1}{9} \end{aligned}

시행을 $2$ 번 하여 $\overline{X}=2$ 이려면 두 기록값의 합이 $4$ 이므로, 아래와 같아요. 순서쌍 $(1,3),\,(2,2),\,(3,1)$ 일 확률을 더해요.

\begin{aligned} P(\overline{X}=2) &=P(X=1)P(X=3)+P(X=2)P(X=2)+P(X=3)P(X=1) \\ &=\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{5}{9} \\ &=\dfrac{19}{81} \end{aligned}

따라서 정답은 ⑤예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

29회 (6.4%)

개념 출제

2회 (0.4%)

개념 출제 (회차 기준)

2회 (13.3%)

같은 개념의 평균 난이도는 4.00 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 4 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 1회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 0회 난이도 4: 2회 난이도 5: 0회

2024학년도 9월 모평 28번

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