2023학년도 9월 모평 29번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

$1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적힌 $6$ 장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $4$ 번 반복하여 확인한 네 개의 수의 평균을 $\overline{X}$ 라 할 때,
$P(\overline{X} = \dfrac{11}{4}) = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

$\overline{X}=\dfrac{11}{4}$ 이면 네 수의 **합이 $11$ **이에요. 각 시행은 독립이고 경우의 수는 $6^{4}$ 이므로, 합이 $11$ 이 되는 네 수의 조합을 먼저 찾아 보세요.
$1$ 부터 $6$ 까지에서 네 수(중복 허용)의 합이 $11$ 인 것을 오름차순으로 나열하면 $(1,1,3,6)$ , $(1,2,3,5)$ 등 $9$ 가지예요. 같은 수가 여러 개 있으면 순열 수를 $4!$ , $4!/2!$ , $4!/3!$ 로 나누어 세세요.
조건을 만족하는 순서 있는 경우의 수를 모두 더한 뒤 $6^{4}$ 로 나누고, 기약분수 $\dfrac{q}{p}$ 로 고친 다음 $p+q$ 를 구하면 됩니다.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

네 번 꺼낸 수의 평균이 $\dfrac{11}{4}$ 이려면 네 수의 합이 $11$ 이어야 해요.

전체 경우의 수는 (복원 추출, 순서 있음)

6^{4}=1296

$1$ 이상 $6$ 이하의 네 수(중복 허용)의 합이 $11$ 인 것을 오름차순으로 나열하면 다음 $9$ 가지예요.

\begin{aligned} &(1,1,3,6),\ (1,1,4,5),\ (1,2,2,6),\ (1,2,3,5),\ (1,2,4,4),\\ &(1,3,3,4),\ (2,2,2,5),\ (2,2,3,4),\ (2,3,3,3) \end{aligned}

각 경우에 대해 순서를 고려한 경우의 수는 다음과 같아요.

조합	같은 수	순열 수
$(1,2,3,5)$	모두 다름	$4!=24$
$(2,2,2,5)$ , $(2,3,3,3)$	한 종류 $3$ 개	$\dfrac{4!}{3!}=4$ (각 $1$ 가지)
나머지 $6$ 가지	한 종류 $2$ 개	$\dfrac{4!}{2!}=12$

따라서 합이 $11$ 인 경우의 수는

24+2\times 4+6\times 12=104

P\!\left(\overline{X}=\dfrac{11}{4}\right)=\dfrac{104}{1296}=\dfrac{13}{162}=\dfrac{q}{p}

$p=162$ , $q=13$ 이고 서로소이므로

p+q=162+13=175

따라서 구하는 값은 $\boxed{175}$ 예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

29회 (6.4%)

개념 출제

2회 (0.4%)

개념 출제 (회차 기준)

2회 (13.3%)

같은 개념의 평균 난이도는 4.00 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 4 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 1회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 0회 난이도 4: 2회 난이도 5: 0회

2023학년도 9월 모평 29번

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출제 경향

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