2024학년도 6월 모평 28번

(가) $f(1)f(3)f(5)$가 홀수이므로 $f(1)$, $f(3)$, $f(5)$는 모두 $\{1,3,5\}$에 속해요.

(다) 치역의 원소가 $3$개이므로, 치역에 포함되는 홀수의 개수를 $1$개·$2$개·$3$개로 나눠요.

(ⅰ) 치역에 홀수가 $1$개

치역의 홀수를 정하는 방법: ${}_{3}C_{1}=3$

$f(1)=f(3)=f(5)$는 그 홀수로만 갈 수 있고, **(나)**와 치역 크기 $3$ 때문에 $f(2)=2$, $f(4)=4$로 정해져요.

→ $3$개

(ⅱ) 치역에 홀수가 $2$개

홀수 쌍을 정하는 방법: ${}_{3}C_{2}=3$

$\{f(1),f(3),f(5)\}$의 서로 다른 값이 $1$개일 때: 홀수 $2$개 중 하나에만 대응 → $2$가지, $f(2)$, $f(4)$는 $2$가지

$2$개일 때: 두 홀수를 모두 쓰는 대응 $2^{3}-2=6$가지, $f(2)$, $f(4)$는 $2\times 2=4$가지

→ $3\times(2\times 2+6\times 4)=3\times 28=84$

(ⅲ) 치역에 홀수가 $3$개 ($\{1,3,5\}$)

$\{f(1),f(3),f(5)\}$의 서로 다른 값이

• $1$개: $3$가지, $f(2)$, $f(4)$는 $1$가지
• $2$개: ${}_{3}C_{2}\times(2^{3}-2)=3\times 6=18$가지, $f(2)$, $f(4)$는 $2\times 2=4$가지
• $3$개: $3!=6$가지, $f(2)$, $f(4)$는 ${}_{3}C_{2}=3$가지(치역의 짝수 $1$개 선택)

→ $1\times(3\times 1+18\times 2+6\times 3)=57$

따라서 아래와 같아요.

$$3+84+57=144$$

따라서 정답은 ⑤예요.