2022학년도 수능 28번

(가) $x\in X$에 대해 $f(x)\ge\sqrt{x}$이므로

$$f(1)\ge 1,\quad f(2)\ge\sqrt{2}>1,\quad f(3)\ge\sqrt{3}>1,\quad f(4)\ge 2,\quad f(5)\ge\sqrt{5}>2$$

즉 $f(1)\in\{1,2,3,4\}$, $f(2),f(3)\in\{2,3,4\}$, $f(4)\in\{2,3,4\}$, $f(5)\in\{3,4\}$예요.

(나) 치역의 원소가 $3$개이므로, 치역은 $Y$의 $3$원소 부분집합이에요. **(가)**와 함께 보면 가능한 치역은

$$\{1,2,3\},\ \{1,2,4\},\ \{1,3,4\},\ \{2,3,4\}$$

뿐이에요. 각 치역별로 경우를 나눠요.

(ⅰ) 치역이 $\{1,2,3\}$인 경우

$f(1)=1$, $f(5)=3$이어야 해요. $f(2),f(3),f(4)$는 $\{2,3\}$의 값만 가질 수 있고, $2^{3}=8$가지 중 치역이 $\{3\}$뿐인 경우($f(2)=f(3)=f(4)=3$) $1$가지를 빼면

$$2^{3}-1=7$$

(ⅱ) 치역이 $\{1,2,4\}$인 경우

$f(1)=1$, $f(5)=4$이므로 (ⅰ)와 같이 $7$가지예요.

(ⅲ) 치역이 $\{1,3,4\}$인 경우

$f(1)=1$이에요. $f(2),f(3),f(4),f(5)$는 $\{3,4\}$의 값만 가질 수 있고, $2^{4}=16$가지 중 치역이 $\{3\}$ 또는 $\{4\}$인 경우 $2$가지를 빼면

$$2^{4}-2=14$$

(ⅳ) 치역이 $\{2,3,4\}$인 경우

• $f(5)=3$일 때: $f(1),f(2),f(3),f(4)$가 $\{2,3,4\}$로 가는 함수 $3^{4}=81$가지 중, 치역이 $\{2\}$, $\{3\}$, $\{4\}$, $\{2,3\}$, $\{3,4\}$인 경우를 제외하면 $50$가지예요.

• $f(5)=4$일 때도 같은 이유로 $50$가지예요.

따라서

$$7+7+14+50+50=128$$

따라서 정답은 ①예요.