2023학년도 9월 모평 30번

$f \circ f$의 함숫값은 $f$의 함숫값이므로 항상 $B \subset A$예요.

조건 정리

(가) $n(A) \leq 3$

(나) $n(A)=n(B)$이고 $B \subset A$이므로 $A=B$

(다) 모든 $x \in X$에 대해 $f(x) \neq x$ (고정점 없음)

$n(A)=1$이면 $A=\{c\}$이고 모든 $x$에 $f(x)=c$이므로 $f(c)=c$가 되어 (다)를 만족하지 않아요.

따라서 $n(A)=2$ 또는 $n(A)=3$만 보면 됩니다.

$n(A)=2$인 경우

$A=B=\{a,b\}$ ($a \neq b$)라 하면 **(다)**에서 $f(a)=b$, $f(b)=a$여야 해요.

$f(3)$, $f(4)$, $f(5)$는 각각 $a$ 또는 $b$이므로 $2^{3}=8$가지예요.

치역 $A$를 정하는 방법: ${}_{5}C_{2}=10$

$$10 \times 8 = 80$$

$n(A)=3$인 경우

$A=B=\{1,2,3\}$의 한 예를 보면, 고정점 없는 순열은

• $f(1)=2$, $f(2)=3$, $f(3)=1$
• $f(1)=3$, $f(2)=1$, $f(3)=2$

$2$가지예요. (일반적으로 $3$원소 집합의 고정점 없는 순열은 $2$개)

$f(4)$, $f(5)$는 $A$의 원소 $3$개 중 하나씩: $3^{2}=9$

치역 $A$를 정하는 방법: ${}_{5}C_{3}=10$

$${}_{5}C_{3} \times 2 \times 3^{2} = 10 \times 2 \times 9 = 180$$

합계

$$80 + 180 = 260$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{260}$예요.