2022학년도 9월 모평 28번

(나)에서 $f(1)<f(3)$, $f(2)<f(3)$이어야 하므로 $f(3)$보다 작은 정수가 $X$ 안에 두 개 이상 있어야 해요. $f(3)=1$이면 $1$보다 작은 원소가 $X$에 없어 불가능해요. 따라서

$$f(3)\neq 1$$

이에요.

(다)에서 $f(4)<f(5)$, $f(4)<f(6)$이어야 하므로 $f(4)$보다 큰 정수가 $X$ 안에 두 개 이상 있어야 해요. $f(4)=6$이면 $6$보다 큰 원소가 없어 불가능해요. 따라서

$$f(4)\neq 6$$

이에요.

(가)에 의해 $f(3)+f(4)$는 $5$의 배수예요. $f(3),\,f(4)\in\{1,2,\ldots,6\}$이면 합의 최댓값은 $12$이므로, $5$의 배수인 합은 $5$와 $10$뿐이에요. 그에 해당하는 순서쌍을 모두 나열하고, 위 제약으로 불가능한 것을 빼면

$$(4,1),\ (2,3),\ (3,2),\ (6,4),\ (5,5)$$

다섯 가지만 남아요. (예: 합 $5$인 $(1,4)$는 $f(3)=1$이라 제외, 합 $10$인 $(4,6)$은 $f(4)=6$이라 제외해요.)

이제 각 순서쌍에 대해 나머지 함수값의 개수를 셀게요. $f(3)=a$, $f(4)=b$로 고정했다면 $f(1),\,f(2)$는 각각 $\{1,2,\ldots,a-1\}$에 속해야 하고, $f(5),\,f(6)$는 각각 $\{b+1,\ldots,6\}$에 속해야 해요. 선택지의 개수는 각각 $a-1$개와 $6-b$개이므로, 그 경우의 함수 개수는

$$(a-1)^2(6-b)^2$$

이에요.

(ⅰ) $(a,b)=(4,1)$
$(a-1)^2(6-b)^2=3^2\cdot 5^2=9\cdot 25=225$이에요.

(ⅱ) $(2,3)$
$1^2\cdot 3^2=1\cdot 9=9$이에요.

(ⅲ) $(3,2)$
$2^2\cdot 4^2=4\cdot 16=64$이에요.

(ⅳ) $(6,4)$
$5^2\cdot 2^2=25\cdot 4=100$이에요.

(ⅴ) $(5,5)$
$4^2\cdot 1^2=16\cdot 1=16$이에요.

따라서 구하는 함수의 개수는

$$225+9+64+100+16=414$$

이에요.

정답은 ④예요.