2023학년도 9월 모평 11번

$w=\sqrt{3}^{f(n)}=3^{\dfrac{f(n)}{2}}$라 하면, $z^{4}=w$를 만족하는 네제곱근은

$$z=3^{\dfrac{f(n)}{8}}\zeta \quad (\zeta^{4}=1)$$

이에요. $\zeta=1,-1$일 때 $z$는 실수이고, $\zeta=\pm i$일 때는 실수가 아니에요.

따라서 실수인 네제곱근은 $3^{\dfrac{f(n)}{8}}$과 $-3^{\dfrac{f(n)}{8}}$이며, 이 둘의 곱은

$$3^{\dfrac{f(n)}{8}}\cdot\left(-3^{\dfrac{f(n)}{8}}\right)=-3^{\dfrac{f(n)}{4}}$$

이에요. 조건에 의해

$$-3^{\dfrac{f(n)}{4}}=-9=-3^{2}$$

이므로 $\dfrac{f(n)}{4}=2$, 즉 $f(n)=8$이에요.

$$f(n)=-(n-2)^{2}+k=8 \quad\Rightarrow\quad (n-2)^{2}=k-8$$

$k-8<0$이면 자연수 $n$은 없고, $k-8=0$이면 $n=2$ 하나뿐이에요.

$k-8>0$이고 $k-8=m^{2}$ ($m$은 양의 정수)이면 $n=2\pm m$이므로, 자연수 $n$이 정확히 $2$개가 되려면 $m=1$, 즉 $k=9$일 때 $n=1$, $3$이에요.

$m\geq 2$이면 $n=2-m\leq 0$이 되어 자연수 해는 하나 이하예요.

따라서 정답은 ②예요.