2022학년도 6월 모평 21번

$f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이고 (나)에서 최솟값이 음수이므로, 아래로 볼록하고 $f(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 가져요.

(ⅰ) $n$이 홀수인 경우
방정식 $x^n=64$의 실근은 $x=2^{6/n}$ 하나뿐이에요. 한편 $f(x)=0$의 두 실근은 위 실근과는 일반적으로 서로 달라요. 그러면 $(x^n-64)f(x)=0$에는 적어도 세 서로 다른 실근이 나오거나, $f$의 한 근만 $2^{6/n}$과 겹쳐도 나머지 한 실근은 단근으로 남아 (가)의 「모든 실근이 중근」 조건을 만족하기 어려워요. 따라서 홀수 $n$은 조건을 만족하지 않아요.

(ⅱ) $n$이 짝수인 경우
$x^n=64$의 서로 다른 두 실근은

$$x=\pm 2^{6/n}$$

이에요. (가)를 만족하려면 이 두 값만이 곧 $(x^n-64)f(x)=0$의 서로 다른 실근 두 개가 되어야 하고, 각각 중근이어야 하니

$$f(x)=\bigl(x-2^{6/n}\bigr)\bigl(x+2^{6/n}\bigr)=x^2-2^{12/n} \quad\cdots\cdots\text{㉠}$$

로 두는 것이 맞아요. (이때 $x^n-64$의 나머지 인수들은 실근을 더 만들지 않아요.)

㉠에서 $f(x)$는 $x=0$에서 최솟값

$$-\,2^{6/n}\cdot 2^{6/n}=-2^{12/n}$$

을 가져요. 조건 (나)에 의해 이 값이 음의 정수이어야 하므로 $2^{12/n}$은 양의 정수여야 해요. 그러려면 $\dfrac{12}{n}$이 음이 아닌 정수이어야 하니

$$n\mid 12$$

이고, 여기서는 $n$이 짝수 자연수이어야 하므로

$$n\in\{2,\,4,\,6,\,12\}$$

이에요.

따라서 구하는 모든 $n$의 값의 합은

$$2+4+6+12=24$$

이에요.

그래서 답은 $\boxed{24}$예요.