2022학년도 수능 7번

$\tan\theta - \dfrac{6}{\tan\theta} = 1$이므로, $\pi<\theta<\dfrac{3}{2}\pi$에서는 $\tan\theta \neq 0$이에요. 양변에 $\tan\theta$를 곱하면

$\tan^{2}\theta - 6 = \tan\theta$

$\tan^{2}\theta - \tan\theta - 6 = 0$

$(\tan\theta + 2)(\tan\theta - 3) = 0$

따라서 $\tan\theta = -2$ 또는 $\tan\theta = 3$이에요.

$\pi<\theta<\dfrac{3}{2}\pi$이면 제3사분면이므로 $\sin\theta<0$, $\cos\theta<0$이고, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} > 0$이에요.

그래서 $\tan\theta = -2$는 이 구간에 맞지 않고, **$\tan\theta = 3$**만 가능해요.

$\tan\theta = 3$이면 $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = 3$이므로

$\sin\theta = 3\cos\theta$

를 쓸 수 있어요. 이를 $\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$에 대입하면

$(3\cos\theta)^{2} + \cos^{2}\theta = 1$

$10\cos^{2}\theta = 1$

$\cos^{2}\theta = \dfrac{1}{10}$

$\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$ 또는 $\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

제3사분면에서는 $\cos\theta < 0$이므로

$\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

이에요.

$\sin\theta = 3\cos\theta = -\dfrac{3}{\sqrt{10}}$이고, 역시 제3사분면에서 $\sin\theta < 0$과 맞아요.

(참고로 $\sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta = \dfrac{9}{10}$에서 $\sin\theta = \pm\dfrac{3}{\sqrt{10}}$이 나와도, 부호는 $- \dfrac{3}{\sqrt{10}}$만 취해요.)

따라서

$\sin\theta + \cos\theta = -\dfrac{3}{\sqrt{10}} + \left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\dfrac{4}{\sqrt{10}} = -\dfrac{4\sqrt{10}}{10} = -\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$

따라서 정답은 ①예요.