2026학년도 수능 9번

$y=5$는 기울기가 $0$인 직선이므로, 접점의 $x$좌표는 $f'(x)=0$을 만족합니다.

$$\begin{aligned} f'(x)&=3x^{2}+6ax-9a^{2} \\ &=3(x-a)(x+3a) \end{aligned}$$

$f'(x)=0$에서 $x=a$ 또는 $x=-3a$입니다.

$x=a$일 때

$$\begin{aligned} f(a)&=a^{3}+3a^{3}-9a^{3}+4 \\ &=-5a^{3}+4 \end{aligned}$$

접점에서 $f(a)=5$이면 $-5a^{3}+4=5$, 즉 $a^{3}=-\dfrac{1}{5}$입니다. $a>0$과 맞지 않습니다.

$x=-3a$일 때

$$\begin{aligned} f(-3a)&=(-3a)^{3}+3a(-3a)^{2}-9a^{2}(-3a)+4 \\ &=-27a^{3}+27a^{3}+27a^{3}+4 \\ &=27a^{3}+4 \end{aligned}$$

접점에서 $f(-3a)=5$이면 $27a^{3}+4=5$, 즉 $a^{3}=\dfrac{1}{27}$입니다. $a>0$이므로 $a=\dfrac{1}{3}$입니다.

$f(2)$ 구하기

$a=\dfrac{1}{3}$이므로 $f(x)=x^{3}+x^{2}-x+4$입니다.

$$\begin{aligned} f(2)&=2^{3}+2^{2}-2+4 \\ &=14 \end{aligned}$$

따라서 정답은 ④예요.