2026학년도 9월 모평 19번

$f(x)=2x^{3}-3ax^{2}+5a$에서

$$\begin{aligned} f'(x)&=6x^{2}-6ax \\ &=6x(x-a) \end{aligned}$$

$f'(x)=0$에서 $x=0$ 또는 $x=a$입니다. 극댓값과 극솟값이 모두 존재하려면 $a\neq 0$이어야 합니다.

$a>0$일 때

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$a$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	증가	극대	감소	극소	증가

$x=0$에서 극댓값 $f(0)=5a$, $x=a$에서 극솟값 $f(a)=-a^{3}+5a$입니다.

극솟값이 $a$이므로

$$\begin{aligned} -a^{3}+5a&=a \\ a^{3}-4a&=0 \\ a(a+2)(a-2)&=0 \end{aligned}$$

$a>0$이므로 $a=2$입니다. 따라서 극댓값은

$$\begin{aligned} f(0)&=5a \\ &=5\times 2 \\ &=10 \end{aligned}$$

$a<0$일 때

$x$	$\cdots$	$a$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	증가	극대	감소	극소	증가

이때 극솟값은 $f(0)=5a$입니다. $5a=a$에서 $a=0$이므로 $a<0$과 모순입니다.

정답

(ⅰ), (ⅱ)에서 함수 $f(x)$의 극댓값은 $\boxed{10}$입니다.