2025학년도 수능 19번

$$f'(x)=6x^{2}-6ax-12a^{2}=6(x-2a)(x+a)$$

$f'(x)=0$에서 $x=-a$ 또는 $x=2a$ ($a>0$).

| $x$ | $\cdots$ | $-a$ | $\cdots$ | $2a$ | $\cdots$ |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |

| $f(x)$ | ↗ | 극대 | ↘ | 극소 | ↗ |

$x=-a$에서 극댓값:

$$\begin{aligned} f(-a) &=2(-a)^{3}-3a(-a)^{2}-12a^{2}(-a) \\ &=-2a^{3}-3a^{3}+12a^{3} \\ &=7a^{3} \end{aligned}$$

$7a^{3}=\dfrac{7}{27}$이므로 $a^{3}=\dfrac{1}{27}$, 양수 $a$에 대해 $a=\dfrac{1}{3}$.

$$f(x)=2x^{3}-x^{2}-\dfrac{4}{3}x$$ $$f(3)=2\cdot 27-9-4=41$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{41}$예요.