2025학년도 수능 15번

$f(x)=px^{2}+qx+r$ ($p<0$)라 하면 $f'(x)=2px+q$.

조건 (가): $x=0$에서 연속·미분가능

$$\lim_{x\to 0^{-}}g(x)=\lim_{x\to 0^{+}}g(x)=g(0)=7$$

따라서 $f(0)=7$, 즉 $r=7$.

$$\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{g(x)-g(0)}{x} =\lim_{x\to 0^{-}}(x^{2}+ax+15)=15$$ $$\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{g(x)-g(0)}{x}=f'(0)=q$$

미분가능하므로 $f'(0)=15$, 즉 $q=15$.

$$g'(x)=\begin{cases} 3x^{2}+2ax+15 & (x\le 0) \\ 2px+15 & (x>0) \end{cases}$$

조건 (나): $g'(x)\cdot g'(x-4)=0$의 실근 $4$개

$g'(x-4)$는 $g'(x)$를 $x$축 방향으로 $4$만큼 평행이동한 그래프예요.

$a\le 0$이면 교점이 충분하지 않아 실근이 $4$개가 되지 않아요. 따라서 $a>0$ ($a\ne 3\sqrt{5}$).

$g'(x)=0$ ($x\le 0$)의 두 실근을 $\alpha$, $\beta$라 하면

$$\alpha+\beta=-\dfrac{2a}{3},\qquad \alpha\beta=5$$

(나)의 그림에서 이 두 근의 차가 $4$여야 하므로 $|\alpha-\beta|=4$.

$$|\alpha-\beta|=\sqrt{(\alpha+\beta)^{2}-4\alpha\beta} =\sqrt{\dfrac{4}{9}a^{2}-20}=4$$

$a>0$이므로 $a=9$.

$$g'(x)=3x^{2}+18x+15=3(x+5)(x+1)$$

$\alpha=-5$, $\beta=-1$.

$g'(x-4)=0$의 두 근 $\gamma$, $\delta$는 평행이동에 의해 $\gamma=3$, $\delta=7$.

$\gamma=3$은 $x>0$에서 $f'(x)=2px+15=0$의 근이므로

$$6p+15=0 \quad\Rightarrow\quad p=-\dfrac{5}{2}$$

$g(-2)+g(2)$

$$g(x)=\begin{cases} x^{3}+9x^{2}+15x+7 & (x\le 0) \\ -\dfrac{5}{2}x^{2}+15x+7 & (x>0) \end{cases}$$ $$g(-2)=(-8)+36-30+7=5$$ $$g(2)=-\dfrac{5}{2}\cdot 4+30+7=27$$ $$g(-2)+g(2)=5+27=32$$

따라서 정답은 ②예요.