2022학년도 9월 모평 19번

$$f(x)=x^3-6x^2+5x$$

일 때 $x$가 $0$에서 $4$까지 변할 때의 평균변화율은

$$\dfrac{f(4)-f(0)}{4-0}$$

이에요.

$f(0)=0$이고,

$$f(4)=4^3-6\cdot 4^2+5\cdot 4=64-96+20=-12$$

이므로 평균변화율은

$$\dfrac{-12-0}{4}=-3$$

이에요.

또

$$f'(x)=3x^2-12x+5$$

이니 $f'(a)=-3$이면

$$3a^2-12a+5=-3$$ $$3a^2-12a+8=0 \quad\cdots\cdots\text{㉠}$$

이에요.

판별식 $D=(-12)^2-4\cdot 3\cdot 8=48>0$이고, 두 근은

$$a=\dfrac{12\pm\sqrt{48}}{6}=2\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$

꼴이에요. 둘 다 $0$과 $4$ 사이에 있으므로 문제 조건을 만족해요.

이차방정식 ㉠의 두 근의 곱은 근과 계수의 관계에 의해

$$\alpha\beta=\dfrac{8}{3}$$

이에요. 따라서 $\dfrac{q}{p}=\dfrac{8}{3}$이고 $p=3$, $q=8$($p,q$는 서로소인 자연수)이에요.

그러므로

$$p+q=11$$

이에요.

구하는 값은 $\boxed{11}$이에요.