먼저
f(x)=x3−3x2−9x−12,
f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)
이므로, 극값을 갖는 점은 x=−1, 3이에요.
각 함수값은 f(−1)=−7,f(3)=−39이므로
f(x)는 x=−1에서 극댓값 −7, x=3에서 극솟값 −39를 가져요.
이제 조건 (가)
xg(x)=∣x(f(x−p)+q)∣
를 보면, x=0에서
g(x)={∣f(x−p)+q∣−∣f(x−p)+q∣(x>0)(x<0)
가 돼요.
g(x)가 실수 전체에서 연속이므로 특히 x=0에서
좌극한과 우극한이 같아야 해요.
limx→0+g(x)=∣f(−p)+q∣,
limx→0−g(x)=−∣f(−p)+q∣
이 둘이 같으려면
∣f(−p)+q∣=0
즉
f(−p)=−q
이어야 해요. (따라서 x=0은 f(x−p)+q=0의 해예요.)
조건 (나): 미분가능하지 않은 점이 정확히 1개여야 해요.
∣f(x−p)+q∣에서 미분이 깨지는 지점은 보통 f(x−p)+q=0인 점(부호가 바뀌는 점)들이에요.
따라서 해의 개수가 너무 많으면 미분 불가능한 점도 여러 개가 됩니다.
이 개수를 1개로 만들려면, 수평선 y=−q가 y=f(x)와
극대점에서 접하고(중근), 나머지 한 점에서만 가로질러야 해요.
극대값이 −7이므로
−q=−7⇒q=7
이고, 접점은 x=−1이에요.
또 f(−p)=−q=−7이어야 하므로
−p=−1⇒p=1
을 얻어요.
확인하면
f(x−p)+q=f(x−1)+7=x2(x−6)
이어서 x=0은 중근, x=6은 단근이에요.
결국 미분이 깨지는 점은 1개(x=6)가 맞아요.
따라서
p+q=1+7=8
이고 정답은 ③이에요.
