2024학년도 6월 모평 9번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

수열 $\{ a_{n}\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여

$\sum_{k = 1}^{n}\dfrac{1}{(2k - 1)a_{k}} = n^{2} + 2n$

을 만족시킬 때, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{10}a_{n}$ 의 값은? [4점]

선택지를 클릭하면 바로 채점됩니다.

$n=1$ 일 때 식에 대입하면 $a_{1}$ 을 바로 구할 수 있어요.
$n\ge 2$ 에서는 $n$ 번째 항 $\dfrac{1}{(2n-1)a_{n}}$ 이 $n$ 까지의 합과 $n-1$ 까지의 합의 차로 나타나요. $n^{2}+2n$ 과 $(n-1)^{2}+2(n-1)$ 의 차를 이용해 보세요.
$a_{n}=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 로 쓸 수 있으면, $\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)$ 로 부분분수를 써서 $\displaystyle\sum_{n=1}^{10}a_{n}$ 을 망원급수로 계산해 보세요.

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

$n=1$ 일 때

\dfrac{1}{a_{1}}=1^{2}+2\cdot 1=3

이므로 $a_{1}=\dfrac{1}{3}$ 이에요.

$n\ge 2$ 일 때, 왼쪽 합을 $S_{n}$ 이라 하면 아래와 같아요.

S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(2k-1)a_{k}}=n^{2}+2n

S_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{(2k-1)a_{k}}=(n-1)^{2}+2(n-1)

두 식을 빼면 아래와 같아요.

\dfrac{1}{(2n-1)a_{n}} =S_{n}-S_{n-1} =(n^{2}+2n)-\{(n-1)^{2}+2(n-1)\} =2n+1

따라서 아래와 같아요.

(2n-1)a_{n}=\dfrac{1}{2n+1},\qquad a_{n}=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}\quad (n\ge 1)

( $n=1$ 일 때도 $a_{1}=\dfrac{1}{3}$ 으로 맞아요.)

이제 아래처럼 계산해요.

\sum_{n=1}^{10}a_{n} =\sum_{n=1}^{10}\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}

부분분수로 나누면 아래와 같아요.

\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)

이므로 아래와 같아요.

\sum_{n=1}^{10}a_{n} =\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{10}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)

=\dfrac{1}{2}\left\{ \left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{21}\right) \right\}

=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{21}\right) =\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{20}{21} =\dfrac{10}{21}

따라서 정답은 ①예요.

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

61회 (13.6%)

개념 출제

2회 (0.4%)

개념 출제 (회차 기준)

2회 (13.3%)

같은 개념의 평균 난이도는 3.50 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 3 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 2회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 1회 난이도 4: 1회 난이도 5: 0회