(나) f(x+1)−xf(x)=ax+b에 x=0을 대입하면
f(1)=b
**(가)**에서 f(1)=1이므로 b=1이에요.
따라서 모든 x≥0에 대해
f(x+1)=xf(x)+ax+1
0≤x≤1에서 f(x)=x이므로
f(x+1)=x⋅x+ax+1=x2+ax+1
t=x+1로 치환하면 1≤t≤2이고 x=t−1이므로
f(t)=(t−1)2+a(t−1)+1=t2+(a−2)t+(2−a)⋯⋯㉠
f′(t)=2t+(a−2)
f는 실수 전체에서 미분가능하고, [0,1]에서 f(x)=x이므로 x=1에서도 미분계수가 같아야 해요.
f′(1)=1
㉠에서 f′(1)=2⋅1+(a−2)=a이므로 a=1이에요.
따라서 1≤x≤2에서
f(x)=x2−x+1
∫12f(x)dx=∫12(x2−x+1)dx=[31x3−21x2+x]12
=(38−2+2)−(31−21+1)=38−65=611
60×∫12f(x)dx=60×611=110
따라서 구하는 값은 110예요.
