2022학년도 9월 모평 14번

$f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이고 $f'(0)=f'(2)=0$이에요. 그러면

$$f'(x)=3x(x-2)=3x^2-6x$$

로 둘 수 있어요. 적분하면

$$f(x)=x^3-3x^2+C$$

($C$는 적분상수)이고,

$$f(x)-f(0)=\bigl(x^3-3x^2+C\bigr)-C=x^3-3x^2$$

이에요.

또

$$\begin{aligned} f(x+p)-f(p) &=\bigl((x+p)^3-3(x+p)^2+C\bigr)-\bigl(p^3-3p^2+C\bigr)\\ &=x^3+(3p-3)x^2+(3p^2-6p)x \end{aligned}$$

이므로

$$g(x)= \begin{cases} x^3-3x^2 & (x\le 0)\\[0.35em] x^3+(3p-3)x^2+(3p^2-6p)x & (x>0) \end{cases}$$

이에요.

ㄱ

$p=1$이면 $x>0$일 때 $g(x)=x^3-3x$이에요. 따라서 $x>0$에서 $g'(x)=3x^2-3$이고

$$g'(1)=3-3=0$$

이니 ㄱ은 참이에요.

ㄴ

$x<0$에서 $g'(x)=3x^2-6x$, $x>0$에서 $g'(x)=3x^2+2(3p-3)x+(3p^2-6p)$예요.

$g$는 $x=0$에서 연속이에요. ($x\to0^-$일 때 $g(x)=x^3-3x^2\to0$, $x\to0^+$일 때 $g(x)$의 상수항이 없어 $0$, $g(0)=0$.)

$x=0$에서 미분가능하려면 좌미분과 우미분이 같아야 해요.

$$\lim_{h\to0^-}\dfrac{g(h)-g(0)}{h}=\lim_{h\to0^-}(h^2-3h)=0$$

이고,

$$\lim_{h\to0^+}\dfrac{g(h)-g(0)}{h}=\lim_{h\to0^+}\bigl(h^2+(3p-3)h+(3p^2-6p)\bigr)=3p^2-6p$$

이에요. 따라서 $3p^2-6p=0$, 즉 $p(p-2)=0$이어야 하고, $p>0$이면 $p=2$ 하나뿐이에요. ㄴ은 참이에요.

ㄷ

$$\int_{-1}^{0} g(x)\,dx=\int_{-1}^{0}(x^3-3x^2)\,dx =\Bigl[\dfrac14x^4-x^3\Bigr]_{-1}^{0} =-\dfrac54$$

이에요. 또

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} g(x)\,dx &=\int_{0}^{1}\bigl(x^3+(3p-3)x^2+(3p^2-6p)x\bigr)\,dx\\ &=\Bigl[\dfrac14x^4+(p-1)x^3+\dfrac{3p^2-6p}{2}x^2\Bigr]_{0}^{1}\\ &=\dfrac32p^2-2p-\dfrac34 \end{aligned}$$

이므로

$$\int_{-1}^{1} g(x)\,dx=-\dfrac54+\dfrac32p^2-2p-\dfrac34=\dfrac32p^2-2p-2=\dfrac12(3p+2)(p-2)$$

이에요. $p\ge 2$이면 $3p+2>0$, $p-2\ge 0$이니 이 적분값은 $0$ 이상이에요. ㄷ은 참이에요.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이므로 정답은 ⑤예요.