2023학년도 6월 모평 26번

$$(x^{2}+1)^{4}=x^{8}+4x^{6}+6x^{4}+4x^{2}+1$$

$(x^{3}+1)^{n}$의 일반항은

$${}_{n}C_{r}x^{3r} \quad (r=0,1,2,\ldots,n)$$

이에요.

$x^{5}$의 계수

$(x^{2}+1)^{4}$의 $x^{2}$항($4$)과 $(x^{3}+1)^{n}$의 $r=1$항을 곱하면 $x^{5}$가 돼요.

$$4\cdot {}_{n}C_{1}=4n=12 \quad\Rightarrow\quad n=3$$

$x^{6}$의 계수

$n=3$일 때 다음 두 경우예요.

• $(x^{2}+1)^{4}$의 $x^{6}$항($4$) $\times$ $(x^{3}+1)^{3}$의 상수항(${}_{3}C_{0}=1$) → $4$

• $(x^{2}+1)^{4}$의 상수항($1$) $\times$ $(x^{3}+1)^{3}$의 $r=2$항(${}_{3}C_{2}=3$) → $3$

$$4+3=7$$

따라서 정답은 ②예요.